Wat hebben dennenappels gemeen met konijnen?
In de herfstvakantie binnen zitten? Niet als het aan ons ligt! De natuur ligt nu vol met verborgen schatten met markante verhalen. Een dennenappel bijvoorbeeld: op het eerste gezicht een ordinaire verzameling van houtige schubben, maar wat als je verder kijkt dan je neus lang is …? Dan komen verrassende patronen tevoorschijn die een wiskundige doen kirren van plezier. En voor de rest van de bevolking vormen ze gewoonweg een apart weetje om mee uit te pakken op een donkere herfstavond. Hou je klaar voor deze bijzondere ‘clash’ tussen wiskunde en natuur!
Maar eerst: wippende konijnen!
Vooraleer we verder gaan tot de orde der dennenappels, eerst even uitleggen over welk wiskundig fenomeen we het vandaag gaan hebben. Loop niet meteen weg, we beloven dat het geen saaie boel wordt. We doen wel even beroep op je fantasie, want we nemen je mee naar een ommuurd bos zonder roofdieren, maar met één jong koppel konijnen.
Na een maand is het koppel geslachtsrijp en doet het van konijntje-wip (in werkelijkheid hebben langoren daar iets langer voor nodig, maar hé: we zitten nog steeds in die fantasiewereld met een bos-met-eigen regels). Nog een maand later wordt een nieuw duo geboren. Er zijn nu twee konijnenkoppels: het ene ramptetampt meteen opnieuw, terwijl het andere nog een maand moet wachten vooraleer het een bijdrage kan leveren aan dit unieke experiment.
De regels zijn duidelijk:
- elk volwassen koppel zet maandelijks een nieuw koppel (m + v) op de wereld
- nieuwe koppels zijn na een maand geslachtsrijp
- de draagtijd bedraagt eveneens een maand
- er is voldoende voedsel om alle konijnen te voeden
- geen enkel konijn gaat ooit dood (wat een heerlijke wereld!)
De hamvraag is nu: hoeveel koppels konijnen huppelen er rond in ons sprookjesbos na 5 maanden? En na 10 maanden? Of zelfs na 69 maanden?
Het antwoord op dit gedachtenexperiment werd in 1202 geformuleerd door Fibonacci, de Italiaanse wiskundige formerly known as Leonardo van Pisa. Hij stelde een reeks getallen op die start met tweemaal het cijfer 1. Alle daaropvolgende getallen zijn telkens de som van de twee voorgaande:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, …
Uit de rij kan je in één oogopslag afleiden hoeveel konijnen er in een bepaalde maand het fictieve bos in kwestie leegvreten. In maanden 1 en 2 is er alleen sprake van het oerpaar. In maand 3 zijn er twee koppels, waarvan er één al vruchtbaar is. Daarom zie je in maand 4 nog altijd maar 12 lange oren boven het gras uit steken (van 3 koppels konijnen, ah ja). Vanaf maand 5 gaat het snel (5 duo’s), in maand 10 zitten we al aan 55 paartjes en nog eens 10 maanden later telt het behekste bos maar liefst 6765 (maal 2) witte staartjes in de lucht.
En dennenappels dan, kweken die ook zoals konijnen?
Terwijl bovenstaand experiment om duimen en vingers bij af te likken is voor een wiskundige, als die-hard natuurfans doorprikken we de leugen natuurlijk meteen. In de liefde zijn konijnen immers allesbehalve kieskeurig, hun handelsmerk neigt eerder richting extreme polygamie. Bovendien is de kans bijzonder klein dat ze ‘slechts’ 2 mini-nijnen per keer afleveren die dan ook nog eens netjes man en vrouw zijn. Maar elders in de natuur komen feit en fictie - euh wiskunde - wél perfect overeen.
En dan is het nú eindelijk tijd om die vers gevonden dennenappel erbij te nemen. Bestudeer de onderzijde van je vondst en tel het aantal spiralen die de schubben vormen. Wij durven een gokje doen naar het aantal dat je uitkomt: 13! En als dat niet klopt, dan moeten het er wel 8 zijn - niet toevallig twee opeenvolgende getallen uit de rij van onze konijnenvriend Fibonacci. Trouwens, tel nu eens het aantal spiralen in de tegengestelde richting en dan kom je geheid op dat andere getal uit. Zouden linksdraaiend eekhoorns dan toch gelijk hebben?
Toeval? Nope! De getallen die uit Fibonacci’s hersenpan ontsproten blijken enorm goed vertegenwoordigd in onze natuur. Het aantal blaadjes van een bloem is bijvoorbeeld vaak (maar niet altijd) terug te leiden tot één van de getallen uit zijn beroemde rij. Boterbloemen hebben er 5, madeliefjes 34 of 55. Denk je nog steeds aan toeval? Dan moet je maar eens de pitten van een zonnebloem tellen. Net zoals bij dennenappels spiralen die in twee richtingen om elkaar heen, maar dan in veel grotere hoeveelheden: 34 + 55 is geen gekheid. Zie je wel: toeval bestaat niet!
